成像光学系统是各种时空信息感知装备与仪器的“眼睛”，在日常生活中无处不在。随着科学技术的发展与进步，人们对成像光学系统的要求也越来越高：要求光学系统在实现优良像质的同时，向大视场、大孔径、宽波段等方向发展，以满足不同任务的需要；要求光学系统元件数量更少、体积更小、质量更轻......

然而，传统可供光学设计使用的球面以及非球面自由度较小，且结构不灵活，难以实现这些设计要求。因此，成像光学系统设计迫切需要使用新型复杂自由曲面———光学自由曲面。

一、什么是光学自由曲面？

光学自由曲面可以用很多方式去定义。成像光学设计中提到的自由曲面，一般是指不具有轴旋转对称或平移对称约束的光学曲面。常用的光学自由曲面数学描述，包括变形非球面、XY多项式曲面、Zernike多项式曲面、Q多项式自由曲面、非均匀有B样条曲面(NURBS)等。

相对于传统旋转对称曲面，自由曲面面型更加灵活，可以为光学设计带来更多的设计自由度，有很强的面型描述能力与很好的像差校正能力。正因为有这些特性，自由曲面特别适用于校正光学系统的像差，尤其是非对称系统（文中非对称系统指失去旋转对称性结构的系统，可以包含有平面对称性，但无旋转对称性的系统），同时可以减少系统中元件的数量，减小系统的体积与质量，实现传统光学系统难以实现的系统参数、结构与功能。

自由曲面的提出和应用被认为是光学设计领域的一次革命性的发展，包含至少一个自由曲面的成像系统被称为自由曲面成像系统。

由于非成像系统对元件表面形状的加工误差要求相对宽松，自由曲面首先在照明与光束整形等领域得到了成功的应用。近年来，随着精密加工与检测技术的不断进步，可用于成像系统的、较大尺寸的自由曲面元件的制造成为了可能。

自由曲面成像系统在天文望远镜、遥感探测、虚拟现实(VR)/增强现实(AR)、光谱分析、高性能成像等国防、科研、工业、教育、娱乐各个方面都有重要发展前景，并已经有了很多突出的应用，并将深刻影响未来高新技术的变革。

二、自由曲面成像系统设计方法

自由曲面成像系统设计采用“初始结构选取+后续优化”的基本思路。然而，在这两个环节上，系统设计都面临着新的困难与挑战，需要探索并使用新型的、更有效的设计方法。

1、初始结构生成新型设计方法

自由曲面成像系统初始结构的新型设计方法可以大致分为三类（图1）：基于光线逐点直接调控的数值求解方法、基于像差理论的设计方法以及基于机器学习的设计方法。

图1 用于自由曲面成像系统设计的初始结构生成方法

1）基于光线逐点直接调控的数值求解方法

基于光线逐点直接调控的数值求解方法大多数是根据系统成像与结构要求，通过数值求解方法逐点求解自由曲面上的点并通过拟合得到待求自由曲面，由此得到供后续优化使用的初始结构。此方法又主要分成三种：微分方程法、多曲面同步设计方法以及基于逐点构建与迭代的设计方法。

*微分方程法，通常用于快速设计系统中的单个或者两个自由曲面。此方法可用于无盲点、畸变较小的大视场汽车后视镜设计。

*多曲面同步设计方法（SMS方法），最早在20世纪90年代被提出，用于非成像系统的设计。

*基于逐点构建与迭代的设计方法（CI方法），可以实现常规应用的自由曲面成像系统设计，也可以结合专门的设计思路与策略，将其拓展到有特殊功能和应用的自由曲面系统的初始结构生成，如自由曲面大视场成像系统、自由曲面像方远心成像系统、自由曲面双视场双焦距系统、自由曲面光束整形系统、用于像面横向平移的自由曲面单透镜、自由曲面反射式与透射式扫描系统、自由曲面成像光谱仪、相位元件成像系统等。

但CI方法的不足之处在于当待设计的自由曲面和像面之间的曲面数量较多时，数值求解会变得极为困难。此外，采用CI方法设计初始结构的耗时一般多于微分方程法以及SMS方法。

2）基于像差理论的设计方法

基于像差理论的设计方法目前大多用在离轴反射式系统设计中。该类系统的传统设计思路有两种：

*第一种，首先根据近轴光学理论和初级像差理论设计一个同轴球面或二次曲面系统，然后单独或者综合使用视场离轴、孔径离轴、倾斜曲面等手段消除光线遮拦，并以此为初始结构开展后续优化；

*第二种，直接使用球面或者二次曲面组成的离轴消遮拦系统作为供后续优化的初始结构。

然而，当系统中的元件发生偏心倾斜时，如果不对系统结构与面型进行控制，会引入大量非常规像差，这不利于后续优化。此时可以借助于像差理论，引导设计者实现像差较小的无遮拦初始结构设计或者指导系统结构选型。

为此，研究人员提出了借助高斯括号法以及节点像差理论设计离轴消遮拦反射系统初始结构的方法，采用二次曲面（椭球面、双曲面、抛物面）搭建离轴反射系统初始结构的方法，结合共焦二次曲面和像差理论设计自由曲面离轴反射系统初始结构的方法，基于像差理论的自由曲面成像系统初始结构设计与潜在性能评价方法等。

3）基于机器学习的设计方法

近年来，人工智能和机器学习已经被应用于许多领域，包括光学和光电子领域。如果将机器学习与人工智能和光学设计，尤其是自由曲面光学设计结合起来，开展基于机器学习的自由曲面成像系统设计，可以有效降低设计难度、减少人工参与，产生的接近或者超过人工设计水平的系统有重要的应用前景。

基于神经网络机器学习设计自由曲面离轴反射系统初始结构的设计框架，该方法有效降低了自由曲面成像系统设计对人工参与和设计经验的依赖，光学设计初学者也可以上手设计。

2、优化设计方法

除了“初始结构无”的问题，自由曲面成像系统的优化设计还面临着“优化设计难”的问题。典型的优化策略大致总结于图2。

图2 自由曲面成像系统优化策略举例

整体上来讲，自由曲面成像系统的优化应该遵循一种渐进式的策略，这也符合光学设计的一般思路。北京理工大学程德文教授等提出了自由曲面成像系统逐步逼近优化策略，并采用该方法成功设计了像质良好的自由曲面棱镜式头戴显示器。

除了面型升级方式，系统优化过程中也可以采用其他的面型升级策略。曲面阶数越高，对应的像差阶数越高。该策略对于使用自由曲面项中心区域与使用自由曲面项的离轴区域两种情况均适用。基于此结论可以使用渐进式系统优化设计策略指导系统优化：设计过程中，将描述面型参数的变量由低阶到高阶逐步加入到优化过程中。

自由曲面的像差理论也可以被用来指导系统优化过程中有针对性的像差校正。此种设计思路也可被用于自由曲面相机电子取景器、自由曲面成像光谱仪等系统设计。

对于成像系统设计，像面各视场成像质量的平衡非常关键。这可以通过在优化过程中不断调整各抽样视场子午和弧矢方位的权重值来实现。但现有光学设计软件还存在不会自动改变视场、方位的权重值等方面局限。对此，程德文教授提出了成像系统像面整体像质的自动平衡优化方法，大大提高光学系统后期优化设计的效率，减小对设计人员经验的依赖，对需要抽样大量视场的自由曲面光学系统的作用尤其显著。

完成上述优化策略还需要借助于用于将评价函数最小化的数学优化算法。成像系统的优化一般基于多参数优化。主流的优化算法包括阻尼最小二乘法、适应法，以及商用光学设计软件中提供的一些其他算法，如CODE V的全局优化以及阶梯优化，OpticStudio(Zemax)的正交下降优化和锤形优化等。

除了优化算法和策略之外，自由曲面成像系统的优化设计还依赖一些其他关键因素。其中，合理建立优化过程中使用的约束条件非常重要。例如，系统的像面大小和系统畸变可以通过约束光线实际像点位置进行控制，焦距可以借助于ABCD矩阵进行计算并控制。此外，对于离轴系统设计，需要使用特殊的结构约束条件来消除光线遮拦以及曲面之间的相互干涉，这可以通过控制两点之间的距离或特定点到特定光线的距离实现。

三、自由曲面成像系统的应用

近十年来，自由曲面成像系统的设计与应用成为了应用光学界的研究热点，相关技术得到了快速发展。但事实上自由曲面成像系统并不是最近才出现的。早在1959年，Kanolt发明了一个渐变光焦度眼镜的美国专利。此专利第一次给出了自由曲面的具体解析表达式与各项系数。

图3 PolaroidSX-70相机

自由曲面在商用成像系统的最早应用是1972年Baker设计的 PolaroidSX-70单反相机（图3）。为了保证图像清晰，整个系统使用了两个自由曲面光学元件来校正由于偏心倾斜元件引入的像差。1986年，Polaroid在推出的“Spectra”相机中引入了一对名为“Quintics”的8阶自由曲面。1992年，Polaroid在名为“Captiva”的相机的取景器中也引入了自由曲面元件。

1、自由曲面离轴反射式成像系统

相对于球面或者非球面，自由曲面引入的像差形式与曲面偏心倾斜引入的像差形式完全对应。因此，自由曲面特别适用于离轴反射式系统的设计。自由曲面在空间光学离轴反射系统中的最早应用是在COSTAR（corrective optics space telescope axial replacement）系统中。此系统于1993年随第一次维护改进任务被安装到了Hubble望远镜中，并显著地改善了其像质。

此外，自由曲面在大视场反射式成像系统设计中有重要应用。还可将自由曲面运用到成像光谱仪设计中，能够有效提升系统成像质量，并减小系统的体积。

自由曲面反射式成像系统还可以用于实现某些特殊功能或实现某些特殊的性质。如自由曲面双通道双视场两档变焦系统，其中的短焦端用于搜索，长焦端用于精细的观测。还有另一种实现双视场双焦距的自由曲面离轴三反系统形式。

2、自由曲面离轴反射式成像系统

自由曲面在目视成像系统中的典型应用包含头盔显示器、平视显示器、相机电子取景器等。头盔显示器（HMD）是虚拟现实（VR）与增强现实（AR）系统最常用的设备，在国防、科教、医疗、娱乐等诸多领域有重要的应用。

为了让用户佩戴更舒适并实现更强的功能，目前头盔显示器向着小型化、轻量化、离轴化方向发展，同时追求更大的视场、更长的出瞳距、更大的出瞳直径。使用传统球面以及非球面已经难以满足上述设计要求，而使用自由曲面可以较好地解决上述问题。

程德文教授设计了一款大视场、大相对孔径的自由曲面楔形棱镜式头盔目视系统，如图4(a)所示。整个系统结构简单、体积小、质量轻。此外，程德文教授还提出了基于光学自由曲面无缝拼接的超大视场、高分辨率拼接式头盔显示器方案[图4(b)]，消除了大画幅虚拟图像的纱窗效应。

图4 自由曲面棱镜式头盔显示器设计实例。

(a)自由曲面小F数大视场头盔显示器；(b)自由曲面拼接棱镜式头盔显示器

除了自由曲面棱镜式头盔显示器之外，自由曲面在带有合成器的视透型头盔显示器中也得到了应用。而波导型头盔显示器因为其可以实现很薄的镜片厚度以及较大的出瞳直径，受到了越来越多的关注。将自由曲面引入到波导型头盔显示器的投影系统设计，可以有效提升系统成像质量并且减少系统中的元件个数，使系统实现轻量化。此外，自由曲面已被成功地用于HUD系统设计和相机电子取景器的光学设计中。

3、自由曲面在其他类型成像系统中的应用

除了上述已经介绍的应用之外，自由曲面在成像领域还有一些典型应用。如将f-θ物镜应用在扫描系统中，可以有效提高像质，增大视场角；将自由曲面引入超近距投影仪，可以实现更简单的系统结构、更小的系统体积、更少的元件个数、更好的成像质量、更大的视场、更小的投射比等；在光刻物镜中使用自由曲面，可以增大系统的数值孔径或曝光视场，达到更高的系统分辨率，并且可以减少透镜个数，减小系统的设计尺寸；在微透镜阵列设计中使用自由曲面，易于实现对入射光线的大角度偏折，从而实现大视场成像，且可以更好地校正像差、得到成像质量更好的优化结果，并可以减小系统体积。

自由曲面还在内窥镜、汽车和摩托车后视镜、棱镜组成的超薄相机物镜、折反式角膜成像系统、用于实现像面横向平移的棱镜、线性波数光谱仪等系统和元件设计中得到了成功的应用。

可以看出，如果将自由曲面用于成像系统设计，可以实现传统光学系统难以实现的高性能指标，如大视场、大孔径、小F数等。同时，也可以实现以往难以实现的特殊系统结构与功能，这在成像系统设计中有重要的意义。

此外，自由曲面光学还可以和光学领域的其他研究方向相结合，例如计算成像、衍射光学和微纳光学领域。这些都只是自由曲面成像光学的部分研究方向，但实际可能的发展方向远远不止这些。自由曲面成像光学作为光学领域未来的研究热点，如何将相关研究成果将深刻推动应用光学领域的发展，在应用方面不断激发新的可能性，是当下发展的方向。

作者：杨通,段璎哲,程德文,王涌天

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来 源：光电汇OESHOW

编辑：仪器仪表WXF

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